Da ordem de Titius-Bode ao caos

A lei de Titius-Bode é uma regra que prevê a distância dos planetas ao Sol. A relação foi proposta pela primeira vez por Johann Daniel Titius, em 1766, e foi publicada por Johann Elert Bode em 1772. A lei estabelece que adicionando 4 à sequência numérica 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192 … (em que um novo número, a partir do segundo, é o dobro do número anterior) e os resultados divididos por 10 para formar a sucessão 0,4; 0,7; 1,0; 1,6; 2,8; 5,2; 10,0; 19,6; 38,8 … obtêm-se as distâncias médias dos planetas ao Sol, em Unidades Astronómicas – UA.



A utilização da UA permite relativizar as distâncias dos planetas ao Sol em função da distância da Terra ao Sol. Contudo, como a órbita da Terra é ligeiramente elítica, ao longo de um ano, a distância Terra-Sol varia. A maior aproximação, o periélio, verifica-se no início de janeiro, altura em que a distância é de aproximadamente 147,1 milhões de quilómetros. O ponto da órbita da Terra mais afastado do Sol, o afélio, é atingido no início de julho, situando-se a aproximadamente 152,1 milhões de quilómetros do Sol. Em 2012, a União Astronómica Internacional definiu um valor padrão para a UA, 149 597 870,7 km, que representa aproximadamente a distância média entre a Terra e o Sol.
Voltando à Lei de Bode, que não é verdadeiramente uma lei mas uma regra empírica, note-se que que, na época, os planetas conhecidos eram: Mercúrio, Vénus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. Na tabela que se segue podemos verificar que de facto a Lei de Bode prevê com grande aproximação a distância média destes planetas ao Sol.
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Os astrónomos, constatando a aproximação muito perfeita que a lei estabelecia, passaram a estar divididos em duas correntes: os que argumentavam ser apenas um resultado puramente numérico e uma coincidência, uma vez que não havia qualquer base física que a explicasse, e os que defendiam que a lei refletia uma organização física, bem estabelecida e invariável, entre os corpos do sistema solar.
Apesar de se notar que algo não funcionava perfeitamente, pois não havia um planeta que correspondesse ao quinto termo da sucessão, a descoberta de outros corpos, para além da órbita de Saturno, que respeitassem a regra para os termos seguintes, obrigaria a encarar e investigar a causa física desta regularidade.
E a história parecia comprovar o sucesso da relação de Titius-Bode, pois a 13 de março de 1781 o famoso astrónomo William Herschel anunciou a descoberta de um novo planeta, Úrano, a uma distância de 2 870 000 000 km do Sol, cerca de 19,2 UA. A Lei de Titius - Bode previa 19,6 unidades! É o triunfo da regra que ainda será mais reforçada, pois em 1801, o astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descobre um pequeno planeta entre Marte e Júpiter, ao qual se deu o nome de Ceres, aproximadamente à distância que correspondia ao termo 2,8 UA! No ano seguinte, foi descoberto um segundo (Pallas), em 1804 outro (Juno) e um quarto em 1807 (Vesta). Sabemos, atualmente, que em vez de um planeta, existem milhares de pequenos corpos que orbitam entre Marte e Júpiter (a chamada cintura de asteroides). Como o cinturão se localiza aproximadamente à distância média prevista pela lei de Titius-Bode, o astrónomo Olbers achou que os asteroides do cinturão eram fragmentos da explosão de um planeta que lá teria existido, na cintura de asteroidesdistância prevista pela regra de Bode. Alguns imaginaram até um planeta, Maldek, que teria explodido devido a um desastre nuclear causado pela sua civilização! Hoje essa ideia é totalmente rejeitada e a dinâmica da cintura de asteroides relaciona-se com as perturbações gravitacionais de Júpiter, o planeta mais massivo do Sistema Solar, que impede o agrupamento dos resíduos rochosos que orbitam nessa zona.
Após este triunfo da lei de Titus-Bode surgirá o seu declínio e abandono, primeiro, com a descoberta, em 1846, do oitavo planeta, Neptuno e, depois, Plutão, em 1930, que até 2006 foi considerado o nono planeta.
De facto a órbita de Neptuno situa-se a uma distância média do Sol de 4 504 300 000km, ou 30,1 UA. A Lei de Titius - Bode previa 38,8 unidades, nunca a lei se tinha afastado tanto do valor real. A diferença é ainda muito maior para Plutão, a uma distância média do Sol de 5 922 000 000 km, ou 39,6 UA, muito afastado do termo 77,2 que lhe corresponderia na lei de Titius-Bode.
Afastada definitivamente a regra de Titius-Bode é, atualmente, tema de análise a estabilidade e evolução das posições planetárias no sistema solar.
O problema de estabilidade do Sistema Solar é apenas colocado em tempos correspondentes a milhões de anos, e está, provavelmente, para além da existência da civilização humana, mas importa do ponto de vista científico e de compreensão do mecanismo que regula as órbitas planetárias.
Desde Kepler e depois Newton que são conhecidas as leis que descrevem os movimentos planetários. A abordagem newtoniana consistia em resolver as equações do movimento, determinando expressões analíticas para as posições dos corpos em função do tempo. Esta abordagem aplicada ao chamado problema dos dois corpos, por exemplo, o Sol e um planeta, ou um planeta e um satélite, permite obter soluções analíticas. O próprio Newton resolveu o problema, confirmando a obtenção das órbitas elíticas previstas pelas leis de Kepler. Como a massa do Sol representa 99,86% de todo o Sistema Solar, o campo gravitacional por ele produzido é suficientemente preponderante para que se possa desprezar a interação mútua dos planetas e obter resultados bastante aproximados em escalas de tempo não muito grandes.
Quando se consideram mais de dois corpos (por exemplo: a Terra, a Lua e o Sol) a mecânica newtoniana não permite obter analiticamente e de forma exata as equações que definem a trajetória de cada um dos três corpos. Na realidade, as interações gravitacionais entre os diferentes planetas introduzem perturbações mútuas que alteram as órbitas constantemente, embora, de forma extremamente lenta. O período de tempo destas perturbações é da ordem dos milhões de anos. Nesta escala de tempo verifica-se uma situação de ressonância em que os planetas funcionam como osciladores. Por exemplo, Júpiter e Saturno têm frequências na razão de 5/2 (por cada cinco órbitas que Júpiter completa, Saturno orbita duas vezes o Sol). O efeito produzido na órbita de Júpiter é uma perturbação a cada 900 anos. Outro exemplo é a ressonância entre os planetas Neptuno e Plutão cuja razão é 3/2, ou seja, sempre que Neptuno der três voltas em torno do Sol, Plutão dá duas.
Após várias abordagens e estudos que permitiram obter soluções para casos particulares, por exemplo quando um ou dois dos corpos têm massas muito superiores ao terceiro, o matemático francês Henri Poincaré, no final do século XIX, provou a não existência de solução analítica exata e que as trajetórias dos corpos são extremamente sensíveis às condições iniciais, ou seja, órbitas com condições iniciais ligeiramente diferentes podiam afastar-se rapidamente umas das outras.
Trata-se de um sistema dinâmico que atualmente se denomina de caótico! Poincaré, ao estudar a complexidade do problema, tornou-se, sem saber, o percursor da moderna teoria do caos. Não se trata de um sistema totalmente governado pelo acaso em que não é possível aplicar leis matemáticas, mas sim de um sistema perfeitamente descrito por um número definido de variáveis e equações matemáticas que descrevem a sua evolução temporal, e, nesse sentido, determinístico, pois pode determinar-se univocamente o seu estado em cada instante desde que conhecidas as condições iniciais. O caos aparece, sim, no facto de que pequenas variações nas condições iniciais produzirem estados futuros muito divergentes. A imprevisibilidade do modelo matemático não reside, pois, na presença de elementos aleatórios, mas na impossibilidade de determinações exatas e únicas no futuro com os dados atuais. Por exemplo, um pequeno erro de uma dezena de metros sobre a posição inicial da Terra na sua órbita pode, depois de uma centena de milhões anos, transformar-se em um erro de centenas de milhares de quilómetros.
Para problemas como este, hoje em dia, com o advento dos computadores e facilidade de cálculo, desenvolveram-se técnicas que nos permitem chegar a soluções muito aproximadas, com enorme precisão, para escalas de tempo não demasiado grandes. A comprovar o sucesso destas técnicas computacionais de cálculo está o programa de exploração espacial que tem permitido enviar a distâncias de milhões de quilómetros sondas espaciais que chegam ao seu destino, apesar das inúmeros perturbações gravitacionais que a sua trajetória sofre.
Curiosamente, cerca de 98% das simulações computacionais não produzem um caos catastrófico, com variações nas órbitas dos planetas suficientemente grandes para produzirem colisões entre eles. Nos restantes 2% dos resultados as maiores desestabilizações referem-se às órbitas de Mercúrio e Marte pois por terem apenas 6% e 11% da massa da Terra tendem a ser os mais perturbados. Já Vénus, com 82% da massa da Terra, é muito menos perturbado.
Podemos pois descansar, a incerteza está a alguns milhares de milhões de anos de distância e, mesmo assim, existe uma probabilidade de 98% de que o Sistema Solar ainda esteja em perfeita harmonia nesse momento. Gregory Laughlin, astrónomo na Universidade da Califórnia, afirma a propósito: “The glass is 98% full or 2% empty.”